中國(guó)科技大學(xué)破解凱勒幾何兩大核心猜想：困擾世界60多年

據(jù)中國(guó)科技大學(xué)官方消息，該校幾何物理中心創(chuàng)始主任陳秀雄教授與合作者程經(jīng)睿在偏微分方程和復(fù)幾何領(lǐng)域取得“里程碑式結(jié)果”，解出了一個(gè)四階完全非線性橢圓方程。

這成功證明了兩個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)界60多年懸而未決的核心猜想“強(qiáng)制性猜想”和“測(cè)地穩(wěn)定性猜想”，解決了若干有關(guān)凱勒流形上常標(biāo)量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問(wèn)題。

幾何物理中心創(chuàng)始主任陳秀雄教授(中)與程經(jīng)睿(左)在一起 陶冬青/ 攝

據(jù)悉，凱勒流形上常標(biāo)量曲率度量的存在性，是過(guò)去60多年來(lái)幾何中的核心問(wèn)題之一，衍生出了三個(gè)著名猜想——穩(wěn)定性猜想、強(qiáng)制性猜想、測(cè)地穩(wěn)定性猜想。

穩(wěn)定性猜想限制在凱勒-愛(ài)因斯坦度量時(shí)稱為丘成桐猜想，由著名華裔數(shù)學(xué)家丘成桐于20世紀(jì)90年代提出，并由陳秀雄、唐納森和孫崧率先解決。

經(jīng)過(guò)近20年眾多著名數(shù)學(xué)家的工作，強(qiáng)制性猜想、測(cè)地穩(wěn)定性猜想中的必要性已變得完全清晰，但其充分性的證明之前被認(rèn)為遙不可及。

求出一類四階完全非線性橢圓方程的解，就能證明常標(biāo)量曲率度量的存在性。陳-程的工作恰恰就是在K-能量強(qiáng)制性或測(cè)地穩(wěn)定性的假設(shè)下，證明了這類方程解的存在。

這類方程的研究極為困難，長(zhǎng)期以來(lái)業(yè)內(nèi)專家普遍不相信會(huì)有一個(gè)令人滿意的存在性理論，之前對(duì)此類方程幾乎沒(méi)有合適的處理工具。

陳-程最重要的突破，是給出了這類方程的先驗(yàn)估計(jì)，成功實(shí)現(xiàn)了陳秀雄教授提出的新的連續(xù)參數(shù)的策略。

專家認(rèn)為，求解一類四階完全非線性橢圓方程，此前就如同一塊無(wú)形的幕墻擋在數(shù)學(xué)家面前，陳-程的工作就是在幕墻上“掏了一個(gè)洞”，在毫無(wú)征兆的情況下找到一個(gè)突破口，不僅求出了方程的解，而且建立了一套系統(tǒng)研究此類方程的方法，為探索未知的數(shù)學(xué)世界提供了一種新工具。

此外，他們還給出了環(huán)對(duì)稱凱勒流形上穩(wěn)定性猜想的證明，將唐納森在環(huán)對(duì)稱凱勒曲面上的經(jīng)典定理推廣到了高維，并對(duì)一般穩(wěn)定性猜想的證明提出可能的解決方案，讓一般穩(wěn)定性猜想的完全解決成為可能。

審稿人評(píng)價(jià)：“陳-程的突破性工作原創(chuàng)性極高、技術(shù)艱深，不僅解決了凱勒幾何中重大難題，也為此類非線性方程提供了深刻的洞見(jiàn)?？梢灶A(yù)見(jiàn)，這一系列論文將成為幾何與偏微分方程領(lǐng)域的經(jīng)典之作。”

英國(guó)皇家科學(xué)院院士、Fields獎(jiǎng)和首屆數(shù)學(xué)突破獎(jiǎng)得主西蒙·唐納森爵士認(rèn)為，陳-程的工作提供了眾多常標(biāo)量曲率凱勒度量的新例子，毫無(wú)疑問(wèn)將成為完全認(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)。

美國(guó)科學(xué)院院士布萊恩·勞森教授表示，陳和程最近的系列論文令人驚嘆，誠(chéng)為該領(lǐng)域里一個(gè)實(shí)質(zhì)性的突破。